Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan: Differentialgleichungen

Einheit 1 – Heute
→ Motivation und Herleitung am Ingenieurbeispiel
→ Begriffe: Ordnung, Anfangswertproblem
→ Analytische vs. numerische Lösung
→ Euler'sches Polygonzugverfahren in Matlab

Einheit 2
→ Standardform für numerische Verfahren
→ Numerische Lösungsverfahren
→ Lösung in Matlab

Einheit 3
→ Anwendungen

Motivation

Schnellladen einer Batteriezelle

Beim Schnellladen steigt die Temperatur – aber wie schnell, und wie hoch?

Wärmeleistung durch Innenwiderstand:

$$P_\text{Verlust} = I^2 \cdot R_\text{innen}$$

Fall 1: Konstanter Strom, keine Wärmeabgabe

Die gesamte Verlustleistung heizt die Zelle auf:

$$C_\text{th}\,\dot{T} = P_\text{Verlust} = \text{const}$$

$\dot{T}$ ist konstant → direktes Integral:

$$T(t) = T_0 + \frac{P_\text{Verlust}}{C_\text{th}}\,t$$

Mit den Zahlenwerten: $T$ steigt um $1{,}25\,\text{K/s}$ – nach 60 s bereits $+75\,\text{K}$.

Realistisch?

Fall 2: Variabler Strom $I(t)$

Ein reales Ladeprofil: $I(t)$ ist nicht konstant.

$$C_\text{th}\,\dot{T} = P(t) = I(t)^2 \cdot R$$

$P(t)$ ist nun eine gemessene Kurve → $T(t) = T_0 + \dfrac{1}{C_\text{th}} \int_0^t P(\tau)\,d\tau$

Das kennen wir: numerisch mit trapz.

T_end = T0 + trapz(t, P) / C_th

Aber: wir erhalten nur den Endwert oder müssen $T(t)$ mühsam schrittweise berechnen.

Und noch etwas fehlt…

Fall 3: Wärmeabgabe dazu

Die Zelle gibt Wärme an die Umgebung ab:

$$P_\text{ab} = \lambda\,(T - T_\infty)$$

Energiebilanz: ein $-$ aus:

$$C_\text{th}\,\dot{T} = P_\text{Verlust} - \lambda\,(T - T_\infty)$$

Problem: $P_\text{ab}$ hängt von $T(t)$ selbst ab – der Wert den wir suchen!

$$\int \ldots\,dt \quad \text{geht nicht mehr}$$

Wir brauchen etwas Neues: eine Differentialgleichung.

Die Differentialgleichung der Batteriezelle

$$\boxed{C_\text{th}\,\dot{T} = P - \lambda\,(T - T_\infty)}$$

Gleichung vs. Differentialgleichung

Algebraische Gleichung – Lösung ist eine Zahl:

$$2x^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{1{,}5}$$

Differentialgleichung – Lösung ist eine Funktion:

$$C_\text{th}\,\dot{T} = P - \lambda\,(T - T_\infty) \quad \Rightarrow \quad T(t) = \,?$$

Die gesuchte Funktion $T(t)$ muss die Gleichung für alle $t$ erfüllen.

Analytische Lösung

Analytische Lösung: Ansatz

Die Batterie-DGL lässt sich umschreiben:

$$\dot{T} = -\frac{\lambda}{C_\text{th}}\,T + \frac{P + \lambda T_\infty}{C_\text{th}}$$

Ansatz: $\quad T(t) = A + B\,e^{\alpha t}$

Einsetzen liefert $\alpha = -\dfrac{\lambda}{C_\text{th}}$ und die Konstante $A$ aus dem Gleichgewicht.

Mit Anfangsbedingung $T(0) = T_0$:

$$T(t) = T_\infty + \frac{P}{\lambda} + \left(T_0 - T_\infty - \frac{P}{\lambda}\right) e^{-\frac{\lambda}{C_\text{th}}\,t}$$

Gleichgewichtstemperatur

Für $t \to \infty$ ändert sich $T$ nicht mehr: $\quad \dot{T} = 0$

$$0 = P - \lambda\,(T^* - T_\infty) \quad \Rightarrow \quad T^* = T_\infty + \frac{P}{\lambda}$$

Mit den Tabellenwerten:

$$T^* = 25 + \frac{125}{2} = 87{,}5\,°\text{C}$$

Knapp unter der typischen Grenztemperatur – bei doppeltem Strom wäre $T^* = 150\,°\text{C}$.

Aufgabe: Analytische Lösung plotten

Plotten Sie die analytische Lösung der Batterie-DGL:

$$T(t) = T_\infty + \frac{P}{\lambda} + \left(T_0 - T_\infty - \frac{P}{\lambda}\right) e^{-\frac{\lambda}{C_\text{th}}\,t}$$

Verwenden Sie die Parameterwerte aus der Tabelle. Plotten Sie außerdem:

• die Gleichgewichtstemperatur $T^*$ als horizontale Linie
• die Lösung für $C_\text{th} = 50$ und $C_\text{th} = 200$ (sonst gleiche Parameter)

Was beobachten Sie?

Begriffe

Ordnung einer Differentialgleichung

Die Ordnung ist die höchste vorkommende Ableitung.

Bei einer DGL $n$-ter Ordnung sind $n$ Anfangsbedingungen nötig, um die Lösung eindeutig festzulegen.

Anfangswertproblem

Anfangswertproblem (AWP): Alle Bedingungen sind zum selben Zeitpunkt $t_0$ gegeben.

$$C_\text{th}\,\dot{T} = P - \lambda(T-T_\infty), \qquad T(0) = T_0$$

$$m\ddot{x} + kx = 0, \qquad x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = v_0$$

Randwertproblem: Bedingungen an verschiedenen Stellen (z.B. Balken mit festen Enden) – kommt hier nicht vor.

Gewöhnliche vs. partielle DGL

Gewöhnliche DGL (ODE): eine unabhängige Variable

$$C_\text{th}\,\dot{T}(t) = \ldots$$

Partielle DGL (PDE): mehrere unabhängige Variablen

$$\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t) = \lambda\,\nabla^2 T$$

→ Wärmeleitung innerhalb eines Körpers: Temperatur hängt von Ort und Zeit ab.

In dieser Vorlesung behandeln wir ausschließlich ODEs.

Numerische Lösung

Wann versagt die analytische Lösung?

Die Batterie-DGL mit konstantem Strom ist analytisch lösbar.

Was aber, wenn der Ladestrom zeitveränderlich ist – z.B. ein gemessenes Ladeprofil $I(t)$?

$$C_\text{th}\,\dot{T} = I(t)^2 \cdot R - \lambda\,(T - T_\infty)$$

→ Keine geschlossene analytische Lösung mehr möglich.

Numerische Methoden liefern stattdessen eine Näherungslösung als Zahlenfolge:

$$t_0,\, t_1,\, t_2,\, \ldots \quad \longrightarrow \quad T_0,\, T_1,\, T_2,\, \ldots$$

Euler'sches Polygonzugverfahren

Idee: Die Ableitung $\dot{T}$ ist bekannt – sie steht auf der rechten Seite der DGL.

Ersetze die Ableitung durch einen Differenzenquotienten:

$$\dot{T} \approx \frac{T(t + \Delta t) - T(t)}{\Delta t}$$

Umgestellt: der nächste Wert ergibt sich aus dem aktuellen:

$$T(t + \Delta t) = T(t) + \underbrace{\dot{T}(t)}_{\text{rechte Seite}} \cdot \Delta t$$

In Matlab: T(n+1) = T(n) + dT_dt * dt

Euler'sches Polygonzugverfahren in Matlab: Schema

Anfangswertproblem: $\quad \dot{y} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

$$y_{n+1} = y_n + f(t_n,\, y_n) \cdot \Delta t$$

t = t0 : dt : tend
y = zeros(size(t))
y(1) = y0

for n = 1 : length(t)-1
    dy_dt  = f( t(n), y(n) )      % rechte Seite auswerten
    y(n+1) = y(n) + dy_dt * dt   % Euler-Schritt
end

Aufgabe: Euler-Verfahren

Implementieren Sie das Euler-Verfahren für die Batterie-DGL. Wie lautet $f(t, y)$ in diesem Fall?

(a) Vergleichen Sie die numerische Lösung mit der analytischen in einem Plot.

(b) Variieren Sie die Schrittweite dt: $10\,\text{s}$, $100\,\text{s}$, $500\,\text{s}$.
Was passiert mit der Genauigkeit?

(c) Ersetzen Sie $P$ durch ein abklingendes Ladeprofil:

$$I(t) = I_0\,e^{-t/\tau}, \quad P(t) = R\cdot I(t)^2$$

mit $I_0 = 50\,\text{A}$, $\tau = 1800\,\text{s}$, $R = 0{,}05\,\Omega$.
Vergleichen Sie mit der Lösung bei konstantem $P = R I_0^2$.

Zusammenfassung

• Eine Differentialgleichung beschreibt die zeitliche Änderung einer Größe
• Die Lösung ist eine Funktion, keine Zahl
• Analytische Lösungen existieren nur für einfache Sonderfälle
• Für den allgemeinen Fall: numerische Lösungsverfahren
• Das Euler'sche Polygonzugverfahren ist die einfachste numerische Methode